\(A=\left(a+b+1\right)\left(a^2+b^2\right)+\frac{4}{a+b}+1-1\ge\left(a+b+1\right)2\sqrt{\left(ab\right)^2}+\frac{\left(2+1\right)^2}{a+b+1}-1\)

\(=2\left(a+b+1\right)+\frac{9}{a+b+1}-1\ge2\sqrt{ab}+1+2\sqrt{\frac{9\left(a+b+1\right)}{a+b+1}}-1\ge2+6=8\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a^2=b^2\left(1\right)\\\frac{2}{a+b}=1\left(2\right)\\a+b+1=\frac{9}{a+b+1}\left(3\right)\end{cases}}\)

pt \(\left(1\right)\)\(\Leftrightarrow\)\(a=b\) ( vì a, b > 0 ) 

pt \(\left(2\right)\)\(\Leftrightarrow\)\(a=b=1\)

pt \(\left(3\right)\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b+1\right)^2=9\)\(\Leftrightarrow\)\(a+b+1=3\) ( đúng vì \(a=b=1\) ) 

Vậy GTNN của \(A\) là \(8\) khi \(a=b=1\)

Chúc bạn học tốt ~ 

câu hỏi ko tl cx thấy xàm xàm xàm xmà

em mới lớp 7 nên không rành lắm về bất đẳng thức ạ :((

Ta có :\(a.b=1< =>a=\frac{1}{b}\)

Áp dụng bất đẳng thức : 

Ta được \(A=\left(a+b+1\right)\left(a^2+b^2\right)+\frac{4}{a+b}\)

\(\ge\left(a+b+1\right)\left(2ab\right)+\frac{4}{a+b}\)

\(=\left(a+b+1\right).2+\frac{4}{a+b}\)

Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm 

\(2\left(a+b+1\right)+\frac{4}{a+b}\ge2\sqrt[2]{\left[2\left(a+b\right)+2\right].\frac{4}{a+b}}\)

\(=2\sqrt[2]{\frac{8\left(a+b\right)+8}{a+b}}=2\sqrt[2]{\frac{8\left(\frac{1}{b}+b\right)+8}{\frac{1}{b}+b}}\left(+\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm :

\(\frac{1}{b}+b\ge2\sqrt[2]{\frac{1}{b}.b}=2\)

Khi đó \(\left(+\right)< =>2\sqrt[2]{\frac{8.2+8}{2}}=2\sqrt[2]{12}=\sqrt[2]{48}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=1\)

Vậy \(Min_A=\sqrt{48}\)khi \(a=b=1\)

Ta co:

\(M=\left(1+\frac{1}{a}\right)^2+\left(1+\frac{1}{b}\right)^2=\left(\frac{1}{a}-2\right)^2+\left(\frac{1}{b}-2\right)^2+6\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)-6\ge\frac{24}{a+b}-6=18\)

Dau '=' xay ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

M=\(\frac{a^4}{a\left(b+1\right)^2}+\frac{b^4}{b\left(a+1\right)^2}\)

áp dụng bdt bunhiacopxki ta co

(a+b)M>=\(\left(\frac{a^2}{b+1}+\frac{b^2}{a+1}\right)^2\)

\(\left(\frac{a^2}{b+1}+\frac{b^2}{a+1}\right)^2>=\left[\frac{\left(a+b^2\right)}{a+1+b+1}\right]^2\)

\(=\frac{\left(a+b\right)^4}{\left(a+b+2\right)^2}>=\frac{\left(a+b\right)^4}{4\left(a+b\right)^2}\)(do 2<=a+b)

=\(\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)

do do M(a+b)>=\(\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)

=>M>=\(\frac{a+b}{4}>=\frac{1}{2}\)

dau = xay ra <=> a=b=1